ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

5. 加群 (1)

代数初歩ノート


5-0. 環上の加群の定義

環 R 上の左加群 M とは、
加法群 M に環 R から M への作用、

R \times M \to M
(a, x) \mapsto ax \,\, (a \in R, x \in M)

が定められていて、線型空間でお馴染みの次の公理を満たすものを言う。最初の 1), 2) は ノート 4 にある群の作用の公理に他ならない。
 
任意の \alpha, \beta \in R, 任意の x, y \in M にたいし、

1) (\alpha\beta)x = \alpha(\beta x)
2) 1_Rx = x
3) \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y
4) (\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x

※ 環が体であるときは線型空間に他ならない。

※ 群作用のときと同じように右加群も定義できる。

※ Q, R を環とし、加法群 M が (Q, R) 両側加群であるとは，次の 三つの条件が成り立つことをいう:

1) M は Q 上の左加群である.
2) M は R 上の右加群である.
3) 任意の x \in M,a \in Q,b \in R に対して， a(xb)=(ax)b が成り立つ.
//

二つの左 R 加群 M, N に対して、写像 f: M \to N が R 準同型 (または R 線型) とは、任意の x, y \in M, 任意の \alpha, \beta \in R に対し、

f(\alpha x+ \beta y) = \alpha f(x)+ \beta f(y)

を満たすことを言う。写像 f が全単射であれば、同型写像というのも、同型写像が存在すれば、 M, N を同型というのもいままでと同じである。


線型空間のときの部分空間の定義と同じように、 M を R 左加群としたとき、N が M の R 部分加群であるとは、N が 加法群として M の部分群で、かつ、 N の要素に R を作用させた結果が、N で閉じているということである。

a \in R, x \in N \Rightarrow ax \in N

N は空集合にはならず必ず 0 を含むことも同じである。

また、部分 R 加群が存在すれば、加法について剰余群が定義でき、剰余群も R 加群になることは簡単にわかる。準同型定理も同様に成立する。

※ 環 R の乗法を作用とみなせば、環自身も (左) R 加群とみなすことができる。このとき、 R の部分 R 加群とは、左イデアルに他ならない。一般に左イデアル I に対して剰余加群 R/I は左 R 加群である。//


基底をもつ R 加群のことを「R 自由加群」と呼ぶ。なお「基底」を「自由基底」と呼ぶこともある。可換環の自由加群であれば、線型代数の「次元定理」と同じように基底の濃度は一つに定まるが、非可換で有限基底の場合には一般には成立しない。また、R 自由加群の基底の濃度は、「次元」とは呼ばず、「階数」と呼ばれ、 \mathrm{rank}_R \, M などと表記される。

5-1. 有限生成加群の構造定理 (有限生成アーベル群の基本定理)

有限生成アーベル群の基本定理をやる前に準備として行列のスミス標準形 (単因子) をみる。これは、線型代数で習う行列の基本変形と同じだが、行列の要素が可換環だというのが違う。定数倍する範囲が、いま考えている環で単元に限られている。ここでは整数で以下の例でやってみる。整数なので単元は \pm 1 しかない。

\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 & 2 \\ 2 & 8 & 2 & 2 \\ -3 & -17 & -5 & 8\\ 1 & 5 & 7 & 10 \end{pmatrix}

行列の要素の最大公約数は明らかに 1 だからそのままで、1 行目の要素を基本変形で 0 にする。

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -4 & -2 \\ -3 & -2 & 4 & 14\\ 1 & 0 & 4 & 8 \end{pmatrix}

1 列目の他の要素も 0 にする。

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 14\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{pmatrix}

一行一列を除いた行列の最大公約数は 2 である。

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & -2 & 4 & 14\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 16\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{pmatrix}

今度は最大公約数は 4

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 8\\ 0 & 0 & 8 & 16 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

このようにして、対角化ができることは、今の手順から帰納法ですぐに証明できる。また、対角上の数字が割り切れるように並ぶのは、単項イデアル整域であることから当然である。階数 (rank) に関しては全く通常の基本変形と同じである。

常に同じように並ぶ一意性はどうやって証明するのだろう？

一番下の行列から 2 \times 2 の小行列をすべて取り出してみる。

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

この三つの行列の行列式の最大公約数は 2 である。そうすると、変形前の元の行列から同じようにすべての小行列を取り出し、その最大公約数を求めると同じ 2 になっていることを証明できればよい。基本変形は可逆な操作で対応する変換行列はユニタリである。コーシー・ビネの定理を使っても証明できるが、行列を行 (列) ベクトルで記述してみれば、行や列を一回互換しても行列式は符号が変わるだけであることはすぐにわかり、また、任意行 (列) の定数倍を他の行 (列) に加えても行列式の値は変わらないことはすぐわかる (行列式の行 (列) についての多重線形性と、等しい 2 行 (2列) を持つ行列式の値は偶置換と奇置換の集合の間にはペアとなる可逆な射があることから零になるので)。つまり、任意のサイズの小行列式を集めてイデアルを作ってもどのサイズでもその小行列式のイデアルは基本変形で不変なのである。そしてイデアルは単項イデアルであるのだから生成元は最大公約数として一意に決まる。//

可換環 R が PID (単項イデアル整域) であるとき、有限生成の R 自由加群 M の部分加群 N はまた有限生成であることを証明する。

※ 有限次元の線型空間の部分空間は有限次元であることは保証されていたが、一般の自由加群では保証されていない。しかし、可換環 R がネーター環であれば、有限生成 (階数が有限ということ) の R 自由加群の部分加群もまた有限生成であることが保証されることを証明できる。ネーター環はまだやっていないので、ここでは可換環 R が PID (単項イデアル整域) の場合について証明する。PID のイデアルは単項生成なので、当然有限生成であり、ネーター環の特別な場合である。

※ 念のためだが、「有限生成」といっているのは、ユークリッド空間の次元が 3 といっているようなもので、有限生成ならば、アーベル群が有限であるということは一般には成立しない。

(証明)

有限生成自由加群 M の階数 nに関する帰納法で、その部分加群が階数

r \leq n

で有限生成であることを証明する。

n = 1 のとき、 x \neq 0 を M の基底とすれば、

M = Rx

と書ける。部分加群

N \subset M

について、

N = \{0\}

の場合は明らかに有限生成である。したがって

N \neq \{0\}

とする。すると I \subset R として、

N = Ix

と書けるが、 I は R の単項イデアルであることがわかる。なぜなら、部分加群であることの定義から、 ax, bx \in N ならば、

ax + bx = (a+b)x \in N

なので、 a, b \in I ならば

a+b \in I

であり、さらに任意の c \in R, ax \in N について

c(ax) =(ca)x \in N

であるから、 c \in R, a \in I ならば

ca \in I

となるからである。環が単項イデアル整域であるので、 I は単項イデアルとなり、

I = (d) \quad (d \in R, d \neq 0)

のように書ける。

ここで N の基底は dxであることを証明する。任意の y \in N は、また M の元であるので、

y = kx

と書けるが、 k \in I より、

k=md

と表すことができ、したがって

y = m(dx)

となる。したがって dx は N を生成できる。さらに

m(dx) = 0

ならば

md = 0

であるが、 R は整域であることと、

d \neq 0

より

m = 0

となって一次独立であることも言え、 dx は 部分加群の基底である。以上より n = 1 の場合については成立する。

次に、自由加群 M の階数が、 n だとし、基底を \{x_1, \cdots, x_n\} で表せば、 M の任意の要素は

M = \{r_1x_1+\cdots + r_n x_n|r_i \in R\}

と書くことができる。

またその任意の部分加群を Nとする。

いま、

M_n = Rx_n

とし、 n 番目の座標を取り出すことと同一視してよい自然射影 f: M \to M_n を考える (準同型写像である)。 f の核を考えてみると、

\ker{f} = \{r_1x_1+\cdots + r_{n-1} x_{n-1}|r_i \in R\}

となっており、 \ker{f} は M の部分加群である。部分加群の共通分はまた部分加群であることが簡単に証明でき、したがって、

N^{\prime} = (\ker{f}) \cap N

は M の部分加群である。ここで

N^{\prime} \subset \ker {f}

であり、 \ker{f} の階数は n-1 であるので、これに帰納法の仮定を適用すると、 \ker{f} の部分加群 N^{\prime}は

s \leq n -1

個の要素を基底として有限生成できる。

準同型定理により、

N/N^{\prime} \simeq f(N)

が成立する。

N \subset M

で、

f(M) = Rx_n

であるので、

f(N) = Ix_n, I \subset R

となるが、 n=1 と同じ証明で、 I は単項イデアルとなり、

I = (a)

と書ける。

ここで、 a=0 であれば、

N = N^{\prime}

となり、帰納法の仮定から題意は成立するので、 a \neq 0 とする。

N の任意の要素を \theta とすれば、

f(\theta) = kax_n

とおける。

f(\theta - kax_n) = 0

であるから、

\theta - kax_n \in N^{\prime}

となって、

\theta - kax_n = r_1x_1+ \cdots + r_sx_s

と書けることから、

\theta = r_1x_1+ \cdots + r_sx_s + kax_n

となり、 s+1 個の要素で任意の N の要素を生成できる。さらに線形独立性を確認するために、

\theta = r_1x_1+ \cdots + r_sx_s + kax_n = 0 とすると、

f(\theta) = kax_n =0

整域であることと、

a \neq 0

から

k = 0,

その他の係数についても、帰納法の仮定によりすべて零になる。以上より、PID の環上の階数 n の自由加群の部分加群は有限生成であることが証明された。//

PID 上の有限生成加群 (アーベル群) の構造定理を書くのに、有限生成加群は、有限生成 \mathbb{Z} 加群と同型であるという事実を利用する。

※ アーベル群の要素 x を何でもいいから考えると、

x + x + \cdots + x ( n 個)

を整数 n を使って nx と書くことは、可逆なペアが必ず作れる (他の言葉遣いとしては、全単射、逆写像が存在するなど) 操作であって、したがって、任意の有限生成アーベル群は、整数を環とするその上での有限生成な加群と同型である。//

そうすると、PID 上の有限生成加群 M は、次の形と同型である。

M \simeq \mathbb{Z}/n_1 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/n_2 \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/n_r \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}^l

ここで n_i は 1 より大きい自然数で 各 n_i は n_{i +1} を割り切る。

というものである。

\bigoplus_{i=1}^{r} \mathbb{Z}/n_i \mathbb{Z}

を M の「捻れ部分」という。「捻れ部分」は中国剰余定理を使って素数位数の巡回群に更に分解できる。

最後の

\mathbb{Z}^l = \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}
(l 個)

を「自由部分」という。自由部分はもちろん有限生成された加群が有限位数ならば存在しない。

例えば位数

8=2^3

の有限アーベル群だったら、次の数字を割り切れるように約数を並べられる組み合わせとしては、

2, 2, 2
2, 4
8

つまり、

\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}

\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ 4 \mathbb{Z}

\mathbb{Z}/8 \mathbb{Z}

となる。この可能な数って整数 3 の分割数である。 3 は 8 を素数分解したときの 2 の指数である。指数が複数の場合は \prod p(m_i) である。なんでそうなるのか考えてみると、なるほどそうなる。//

線型写像 (準同型写像) は基底が定まっていれば、行列で表すことができる。線型写像 F: K^n \to K^m は、 m 行 n 列の行列 M_{m,n}(K) で表すことができる。

(有限生成アーベル群の基本定理の証明)

有限生成アーベル群 M の生成系を \{x_1, x_2, \cdots, x_m\} とする (生成系であれば、全空間を張るが、一次独立とは限らない)。

いま、写像 g: \mathbb{Z}^m \to M を

g(a_{1} , a_2, \cdots, a_m) = a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_m x_m

で定める。ただし、

(a_1, a_2, \cdots, a_m)

は \mathbb{Z}^m を標準基底 ( (1,0, \cdots,0), \cdots, (0, \cdots, 0,1) のこと) で表したときの座標である。

写像 g が線型写像 (準同型写像) であることは、すぐにわかる。また写像が全射であることも明らかである (もし、この写像が全単射であれば、有限生成アーベル群 M は、 \mathbb{Z}^m と同型ということであり、これは、 M が「自由部分」のみで表せるということである。そこで、 g は単射ではないとする)。

\ker{g} は、 \mathbb{Z}^m の部分空間である。 準同型定理により、

M \simeq \mathbb{Z}^m/\ker{g}

となる。

\mathbb{Z}^m を PID 上の有限生成加群とみなせば、すでに前の記事で証明したように、その部分空間は有限生成となるので、 \ker{g} も有限生成である。その生成系を

\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}

として、写像

f: \mathbb{Z}^n \to \ker{g}

を

f(a_{1} , a_2, \cdots, a_n) = a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots+a_n x_n

で定めると、この写像も全射である。すなわち \mathrm{Im}\, f = \ker{g} 。

\ker{g} は、 \mathbb{Z}^m に含まれるので、 \ker{g} から \mathbb{Z}^m への自明な包含写像をもち、 f は \mathbb{Z}^m への写像と見なして構わないので (つまり、
f: \mathbb{Z}^n \to \ker{g} \hookrightarrow \mathbb{Z}^m)、

M \simeq \mathbb{Z}^m/\mathrm{Im}\, f

となる。前の記事で示したように、行列 M_{m, n} (\mathbb{Z}) に基本変形を施していけば、いわゆるスミス (単因子) 標準形になる。それは、もとの基底をうまく変換すれば、準同型写像 (線型写像)

f: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^m

がスミス (単因子) 標準形で行列表現できることを示している。すると、わかりやすいように、 \mathrm{Im}\, f を変換された基底の座標表示として仮に表してみると、

\mathrm{Im} \,f = ((n_1), (n_2), \cdots, (n_r), 0, \cdots, 0)

のようになる。ここで (n_i) はイデアルを表す。この変換された基底間の対応は、もちろん元の基底間の対応と同型である。

有限生成アーベル群 M は、

M \simeq \mathbb{Z}^m/\mathrm{Im}\, f

であったから、

M \simeq \mathbb{Z}^m/\mathrm{Im}\, f \\\simeq \mathbb{Z}/(n_1) \oplus \mathbb{Z}/(n_2) \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/(n_r) \oplus \mathbb{Z}^{m-r}

となる。//

5-2. ジョルダン標準形

V を体 K 上の n 次元線型空間とする。 V の K 自己準同型写像を f: V \to V とする。線型写像の行列表示は V の基底の取り方に依存するが、基底を上手く選択することで、行列表示をなるべく簡単にすることを考える。

一変数多項式環 K[T] による V への作用を

K[T] \times V \to V
( p(T), x) \mapsto p(f)x
(p(T) \in K[T], x \in V)

と定める。つまり、自然数 n \geq 0 について、 f^n: V \to V を n 個の f の合成とし、 f^0 = 1 を恒等写像とする。多項式

p(T) = a_0 +a_1T+\cdots+a_nT^n \in K[T]

に対し K 自己準同型写像 p(f) \in \mathrm{End}(V) を

p(f) = a_0id_V +a_1f+\cdots+a_nf^n

として定めるということである。また、与えられた基底での f の行列表示 A については
 
p(A) = a_0E +a_1A+\cdots+a_nA^n

で定める。

※ 結局、線型空間のベクトル x への作用は、 p(T)=T の場合の作用が決まりさえすれば良いことがわかる。作用の定義から例えば、

(T^2+3T+1)\cdot x
=(T^2) \cdot x + (3T) \cdot x + 1 \cdot x
=T \cdot (T, x) + 3\cdot (T,x) + x
=T \cdot f(x) + 3f(x) + x
= (T, f(x))+ 3f(x) + x
=f(f(x)) + 3f(x) + 1(x)
=(f^2 + 3f + 1)(x)

となる。//

それで、この作用が定義されると、 K 線型空間 V は K[T] 加群でもあるということになる。 V の基底 \{x_1, \cdots, x_n\} は、 K[T] 加群としても生成系であり、したがって K[T] 加群は有限生成である。また K[T] は一変数多項式環なので単項イデアル整域 (PID) である。したがって、 K[T] 加群には有限生成加群の構造定理が適用できる。ここで、V を K[T] 加群としてみた場合に「自由部分」は存在せず、「ねじれ部分」のみである。なぜなら、 V の次元は有限次元の n であることから、 \mathrm{End}_K(V) の次元は n^2 となり、多項式 p(T) の次数がこれを超えると、写像 p(f) は一次従属となり、多項式の係数が零でないものについて

p(f)=0

となるものが存在し、 V の零でない vector をすべて零化してしまうからである。以上から、 K[T] 加群とみた V には、 「単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理」により次の同型が存在する。

V \simeq \bigoplus_{i=1}^r K[T]/K[T]d_i(T)

実際に特性多項式の単因子 d_i(T) \in K[T] を求めてみるとわかるが、一般に最初のいくつかの d_i(T) は定数 1 になる。

K[X]/(1) = K[X]/K[X]= \{0\}

なので、単因子が単元の場合は、K[X] 加群の構造には何の寄与もないので無視して構わない。以上から、

\deg{d_i(T)} > 0

としてよい。

これからは、 K が「代数的閉体」とする。ガウスの代数学の基本定理により、 K[T] の多項式は必ず既約である一次式に分解できる。したがって、 d (T) は、次のように一次式に既約分解できる。

d(T) = \prod_{i=1}^r (T - \lambda_i)^{n_i}
( \lambda_i \in K)

ここで、 \lambda_i はどの二つも互いに相異なるとすれば、イデアル

K[T](T - \lambda_i)^j

はどの二つも互いに素であるので、中国の剰余定理から、

V \simeq \bigoplus_{i=1}^r K[T]/K[T](T - \lambda_i)^{n_i}

となる。

次に上記の直和分解の各直和因子

K[T]/K[T](T - \lambda_i)^{n_i}

を考察するにあたり、簡単化のため、

W_{\lambda} := K[T]/K[T](T-\lambda)^m

とおいて、これを V の線型部分空間 (固有空間) と同型なものとみなす。ガロア理論でもやったように W_{\lambda} の次元は m で、基底は、

U = T-\lambda

とおいて

(U^{m-1}, U^{m-2}, \cdots, U, 1)

と定めることができる (順序を逆向きにしているのは、こうしないと通常見るジョルダン細胞の形にならないため)。

それで 、この部分線型空間 W_{\lambda} への作用、

f-\lambda |_{W_{\lambda}} = T - \lambda = U

について、この基底における行列表示を求めれば、

[U(U^{n-1}), \cdots, U(U), U(1)]
= [U^{n-1}, \cdots, U, 1] \begin{pmatrix} 0&1&0&\ldots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&1\\ 0&0&0& \ldots &0 \end{pmatrix}

したがって、 f つまり、

T = U + \lambda

の行列表示は

[U^{n-1}, \cdots, U, 1] \begin{pmatrix} \lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\ 0&0&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\lambda&1\\ 0&0&\ldots&0&\lambda \end{pmatrix}

となって、ジョルダン細胞 (ブロック) の行列表示となる。

※ 固有値一般については、線型代数のノートを参照。
※ 単因子(スミス標準形) を得るために三つの基本行列変形を

\lambda E - A

に対して行うのは、整数が多項式に変わるだけの話である。ただし、行、列の単元倍は複素数体の多項式の場合、零を除く定数項であることに注意する。そうすると、単因子多項式が行列の対角成分に得られる。対角成分の多項式 すべてかけあわせれば、元の行列の行列式であるから、結局、すべての単因子多項式の積は固有多項式に等しくなることはすぐにわかる。一方、対角成分の最後の単因子多項式は最小多項式であることが容易にわかる。

代数入門―群と加群 (数学シリーズ)

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