雑記(33)

下の群と準同型の可換図式で各行は群の拡大とする。 \varphi_1, \varphi_3 が同型ならば、 \varphi_2 も同型である。

(証明)
1)  \varphi_2全射であること:

任意の  y_2 \in H_2 をとる。

g_2(y_2)=\varphi_3(x_3) となる  x_3 \in G_3 が存在する ( \varphi_3全射から)。

 x_3 = f_2(x_2) となる  x_2 \in G_2 が存在する ( f_2全射から)

 g_2(y_2) =g_2(\varphi_2(x_2)) である (g_2\circ \varphi_2 = \varphi_3\circ f_2 から)

 g_2(y_2)g_2(\varphi_2(x_2))^{-1}\\
=g_2(y_2\varphi_2(x_2)^{-1}) = e

したがって、

 y_2\varphi_2(x_2)^{-1} \in \mathrm{Ker}\, g_2 = \mathrm{Im}\, g_1

したがって、

 g_1(y_1) = y_2\varphi_2(x_2)^{-1} となる  y_1 \in H_1 が存在する。

 y_1 = \varphi_1(x_1) となる  x_1 \in G_1 が存在する ( \varphi_1全射から)。

以上から、 g_1 \circ \varphi_1= \varphi_2 \circ f_1 を使って、

 y_2\\
= g_1(y_1)\varphi_2(x_2)\\
= g_1(\varphi_1(x_1))\varphi_2(x_2)
 = \varphi_2(f_1(x_1))\varphi_2(x_2)\\
=\varphi_2(f_1(x_1)x_2)

したがって、任意の  y_2 \in H_2 について、 y_2 \in \mathrm{Im}\, \varphi_2 であり  \varphi_2全射である。

2)  \varphi_2単射であること:

ある  x_2 \in G_2 について、 \varphi_2(x_2) = e_{H_2} である。

写像の可換から、

 \varphi_3(f_2(x_2)) \\
= g_2(\varphi_2(x_2))\\
=e_{H_3}

 \varphi_3単射だから、 f_2(x_2) = e_{G_3} である。
つまり、 x_2 \in \mathrm{Ker}\, f_2 = \mathrm {Im}\, f_1
したがって、 f_1(x_1)=x_2 となる  x_1 が存在する。

写像の可換から、
 g_1(\varphi_1(x_1)) \\
= \varphi_2(f_1(x_1))\\
=\varphi_2(x_2)\\
= e_{H_2}

g_1単射だから、 \varphi_1(x_1)= e_{H_1}
 \varphi_1単射だから、 x_1 = e_{G_1}
 x_2= f_1(x_1) = f_1(e_{G_1}) =e_{G_2}

したがって、 \varphi_2(x_2) = e_{H_2} ならば、 x_2 = e_{G_2} なので、 \varphi_2単射である。

以上、準同型写像 \varphi_2全単射であることを示したので、 \varphi_2は同型である。//