雑記 (32)

前の記事の続き。

外部半直積によって定義した半直積を

 N \rtimes_{\varphi} H と表記し、 \tilde{H} = \{(e_N, h)| h \in H\}
 \tilde{N} = \{(n, e_H)| n \in N\}
を それぞれ、 H, Nと自然に同一視する。

 \forall x \in \tilde{H} \cap \tilde{N} を仮定すると、 x = (e_N, h)= (n, e_H) なので、 h = e_H, n = e_Nとなり、 x=(e_N, e_H) である。逆は明らかので、したがって、 \tilde{H} \cap \tilde{N} = \{(e_N, e_H)\} である。

 (n, e_H)\cdot (e_N, h) =(n,h)なので G = \tilde{N}\tilde{H} = N \rtimes_{\varphi} H である。

また、
 (n_1, h_1)\cdot (n, e_H)\cdot (n_1, h_1)^{-1}\\=(n_1\varphi_{h_1}(n),h_1)\cdot(\varphi_{h_1^{-1}}(n_1^{-1}), h_1^{-1})
 =(n_1\varphi_ {h_1}(n)\varphi_{h_1}(\varphi_{h_1^{-1}}(n_1^{-1})),e_H)
 = (n_1 \varphi_ {h_1}(n) n_1^{-1}, e_H) \in \tilde{N}

これから、 \tilde{N} \triangleleft ( N \rtimes_{\varphi} H) である。

以上から、外部半直積の定義は、内部半直積の定義と同型  \tilde{N} \simeq N, \tilde{H} \simeq H を通じて一致する。

さて、「半直積」について確認したところで、再び、上の図で、二つの群準同型写像 g,t に、 g\circ t = id_{G_3} が成立している場合を考える。 g全射であり、 \mathrm{Ker}\, g G_2正規部分群である。また、 t単射であり、 \mathrm{Im}\,t \subset G_2 である。加群のときと、まったく同じ証明で、

 \forall x \in G_2 について、

 n = x\cdot t(g(x^{-1}))

とすると、

 g(n) = g(x\cdot t(g(x^{-1})))=g(x)g(x^{-1})=e_{G_3}

つまり  n \in \mathrm{Ker}\, g である。
 n = x\cdot t(g(x^{-1})) = x\cdot t(g(x))^{-1}
から、 x = n\cdot t(g(x)) であり、 t(g(x)) \in t(G_3) であるので、

 G_2 \subset \mathrm{Ker}\, g \cdot t(G_3)

が成立する。 \mathrm{Ker}\, g \cdot t(G_3) \subset G_3 は明らかなので、

 G_2 = \mathrm{Ker}\, g \cdot t(G_3)

 a \in \mathrm{Ker}\, g \cap t(G_3)

とすると、

 g(x) = e_{G_3} a = t(h)となる  h \in G_3 が存在する。 g(x)=g(t(h))=h から  h = e_{G_3} である。したがって  a = e_{G_2} である。以上より、 g\circ t = id_{G_3} が成立しているならば  G_2 は 半直積  \mathrm{Ker}\, g \rtimes t(G_3) となる。//

以上から、上の図の二番目が成立しているということは、 G_2 が半直積であるということと同値であり、その場合、一番目が成立することがわかる。その場合、

 n \in G_1, h \in G_3, f(\varphi_h(n)) = t(h)f(n)t(h)^{-1}

となっている。

クラインの4元群は、直積なので違うが、一般の二面体群が可換ではないように、直積と違って半直積の場合、 G_1, G_3 がアーベル群であっても、 G_2 は一般にはアーベル群ではない。別の反例としては、

 e \longrightarrow A_3 \longrightarrow S_3 \longrightarrow C_2 \longrightarrow e

があり、交代群  A_3巡回群  C_2素数位数であることからアーベル群であるが、対称群  S_3 は可換とはならない。

※ 直積であれば、 (g,h) =(g, e^{\prime})\cdot (e,h) = (e,h)\cdot(g, e^{\prime}) が成立するので、可換である。内部直積でも G =AB, a\in A, b \in B とすれば、交換子 aba^{-1}b^{-1}= (aba^{-1})b^{-1}= a(ba^{-1}b^{-1})は、A,B正規部分群なので A, B両方に含まれる。 A \cap B = \{e\}なので、 aba^{-1}b^{-1}=e, ab = ba
となる。

※ ここで挙げた準同型写像  t: G_3 \to G_2 を「切断(section)」と呼ぶ。