雑記(17)

G が集合 X に作用するという概念に少し慣れたところで、作用というものを考えてみると、結局、群 G と、集合  X における「自己同型写像 (automorphism) 」全体が作る自己同型群  \mathrm{Aut}(X) との対応は「準同型 (homomorphism)」であって、「作用」があれば G \mathrm{Aut}(X) の準同型を与える準同型写像 \varphi が決まり、逆に準同型写像  \varphi が与えられれば、群 G の作用であることがわかるので、「作用」と 準同型写像  \varphi は同値であることがわかる。

※ 慣れればどうってことはないが、同型に関係する英語は以下のようになる。

準同型: homomorphism
同型: isomorphism
自己準同型: endomorphism
自己同型: automorphism//

※ ここでは、 \mathrm{Aut}(X) としたが本当は  X 上の置換群  S(X) ( X \to X全単射写像の群) への準同型でよい。一般には、 \mathrm{Aut}(X) \subset S(X) である。集合  X には一般には演算規則が定められていないので  \mathrm{Aut}(X) はまずかった。

(証明)
 G から集合Xへの作用があれば、群  G から 自己同型群  \mathrm{Aut} (X) への準同型写像  \varphi が決まる (したがって、群  G と自己同型群  \mathrm{Aut}(X)は群準同型である):

 X への作用を任意の  g \in G,  x \in X,  \varphi(g): X \to X について、

 g \cdot x := \varphi(g)(x)

と仮定する。

 gh \cdot x = \varphi(gh)(x) =g\cdot \varphi(h)(x)=\varphi(g)(\varphi(h)(x))

から、 \varphi(gh) = \varphi(g)\circ \varphi(h) となるので、 \varphi は群準同型である。

 \varphi(g) \in \mathrm{Aut}(X) であることを示すため、 \varphi(g)単射であること、全射であることを順に示す。

 \varphi準同型写像であり、 \varphi(g) はその値である  \mathrm{Aut}(X) の自己同型写像である。

まず単射であること。

 \varphi(g)(x) = \varphi(g)(y) であると仮定すると、
 g\cdot x = g \cdot y である。
 x = e \cdot x = (g^{-1}g)\cdot x = g^{-1}\cdot \varphi(g)(x)
これと、 \varphi(g)(x) = \varphi(g)(y) から、
 x = g^{-1} \cdot \varphi(g)(y) = y
であり、 \varphi(g)(x) = \varphi(g)(y) ならば、 x = y であることがいえる。すなわち、 \varphi(g)単射である。

次に全射であること。

任意の  x \in X に対して、
 x \\
= e \cdot x \\
= (gg^{-1})\cdot x \\
= g \cdot \varphi(g^{-1})(x)\\
=\varphi (g)( \varphi(g^{-1})(x))

である。したがって作用が定まれば、全射がいえる。
以上より、作用が定まれば、群  G\mathrm{Aut}(X) は、群準同型である。

逆に、群準同型写像  \varphi: G \to \mathrm{Aut}(X) が与えられたとき、

 g \cdot x \mapsto \varphi(g)(x)

は、 gh\cdot x = \varphi(gh)(x) = \varphi(g)\circ \varphi(h)(x) =g(h\cdot x)

 e\cdot x = 1(x) = x

から作用を与える。//

これが理解されれば、ガロア理論で拡大体上の自己同型写像を考え、それがガロア群を定義し、それによって対称性を測ったことの一般化なんだなと明確にイメージできる。

次は定義である。

 G が集合  Xに作用するとき、 x \in X に対し、

 O_G(x) = G \cdot x =\{g\cdot x| \forall g \in G\}

 x を通る  G の軌道 (G-orbit) と言う。//

軌道と呼ばれる  X の部分集合は、 X の商集合の要素となる。この類別のことを「軌道分解」と呼ぶ。軌道が一つしかない、つまり  X の任意の元  x について  G\cdot x = X が成立するとき、 G X に「推移的に作用する」という。

実際、軌道  O(x), O(y) について、
 O(x) \cap O(y) \neq \emptyset ならば  O(x) = O(y) であることは、すぐに確認できる。

(証明)

 z \in O(x) \cap O(y) とする。すると
 z = g\cdot x =h\cdot y となる  g,h \in G が存在する。すると、 x = g^{-1}h \cdot y \in O(y) となり、 O(x)=G\cdot x \subset O(y) となる。同じようにして  O(y) \subset O(x) もいえるので、 O(x)= O(y) である。//

よって軌道分解

 \coprod_{i \in I} O(x_i)

は同値類別  \underset{\,_G}{\sim} を与え、商集合  X/\underset {\,_G}{\sim} を与える。

次も定義である。

集合  X の部分集合  Y \subset X を考え ( Y はしばしば  X の一点の集合である)、群  G の部分集合

 Z_G(Y) := \{g \in G| g\cdot Y = Y\}

を考えると、 Z_G(Y) は、 G の部分群となり (証明は容易なので省略する)、 Y の固定化部分群 と呼ぶ。

 x \in X に対して  G の部分群 Z_G(\{x\}) = Z_G(x) を求め、その剰余集合  G/Z_G(x) と 軌道  O_G(x) は、写像  gZ_G(x) \in G/Z_G(x)  \mapsto g\cdot x \in O(x)全単射になることで、同型となる (自然な同一視ができる)。

(証明)

任意の  g \in G について  f(g) = g\cdot x を考え、 f の終域を  O_G(x) にとれば、軌道の作り方から、 f全射である。したがって、逆写像  f^{-1}(g \cdot x) = gZ_G(x) を示すと良い。

いま  h\cdot x = g\cdot x \in O_G(x) とすれば、

 x = g^{-1}h\cdot x

なので、 g^{-1}h \in Z_G(x)であり、 h \in gZ_G(x) である。//

以上から、 G が有限群ならば、 Z_G(x) は部分群であることから

 |G| = |O_G(x)| |Z_G(x)|

となる。つまり軌道の要素の個数は、 G の位数の約数となる。