雑記(8)

この記事は、線形代数の復習である。

線形写像 (準同型写像) の行列表現は、線形空間に基底がとれるからこそ成立しているものであって、考えている基底を別の基底にとれば、一般的に変わる。それにもかかわらず、それはやみくもに何の法則もなしに変わっているわけではなく、背後には何か普遍的なものが存在している。
 
線形空間  K^n の基底を  e_1, \cdots, e_n とし、線形空間  K^m の基底を  f_1, \cdots, f_m とする。 K^n の任意の vector x は、
 
 x = [e_1,\cdots, e_n](x_1,\cdots, x_n)^t             
 
ここで、縦 vector を横 vector  (x_1, \cdots, x_n) の転置で書いており、肩にある記号 t で転置であることを示す。また、 [e_1, \cdots, e_n] は、基底を縦ベクトルで書いて横に並べた行列を意味する。
 
ここではまず、準同型 (線形) 写像  F: K^n \to K^m は、m 行 n 列の行列の形で表されることを示す

(証明)
写像  F は、準同型写像なので、
 
 F(x)\\
= F([e_1,\cdots, e_n](x_1,\cdots, x_n)^t)
= [F(e_1),\cdots, F(e_n)](x_1,\cdots, x_n)^t

つまり、ガロア理論のときにやったように、準同型 (線形) 写像とは、vector である基底のみに作用するものである。ここがまず押さえるべきポイントである。
 
ここで、 F(e_j) を、R^m の基底、 f_1,\cdots, f_m で書くことを考えると、
 
 F(e_j) = [f_1, \cdots, f_m](a_{1j}, \cdots, a_{mj})^t
 
とおける。これから
 
 F(x)\\
=[[f_1, \cdots, f_m](a_{11}, \cdots, a_{m1})^t, \cdots, [f_1, \cdots, f_m]\\(a_{1n}, \cdots, a_{mn})^t](x_1,\cdots, x_n)^t
=[f_1,\cdots, f_m]\begin{pmatrix}a_{11} & \ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots& \vdots\\
a_{m1}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}(x_1, \cdots, x_n)^t              

A = \begin{pmatrix}a_{11} & \ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots& \vdots\\
a_{m1}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}          
とおけば、これは、mn 列の行列である。

 x = [e_1,\cdots, e_n](x_1,\cdots, x_n)^t    

であったから、x の座標は、基底が  e_1, \cdots, e_n のとき、 x = (x_1, \cdots, x_n)^t であり、それが準同型写像  F によって  K^m に送られると、基底  f_1, \cdots, f_m でみた 座標  y = (y_1, \cdots, y_m) は、
 
 y = Ax
 
になっていることを意味する。//
 
逆に、 y = Ax ならば、準同型写像であることは簡単に示せるので、線形写像と行列表現は同値である。
 
少し、具体例をあげてみる。
 
2 次元の線形空間 R^2 (平面) を考え、基底を  e_1 = (1, 0)^t, e_2 = (0, 1)^t とする。任意の  x \in  R^2 を反時計まわりに  \theta 回転させる写像  F: R^2 \to R^2 を考えるとこの写像は線形写像であることが簡単に確認できる。行き先の基底も同じ  e_1 = (1, 0)^t, e_2 = (0, 1)^t だとして、この線形写像に対応する行列表現を求める。
 
線形空間 R^2 の任意の要素は、
 
 x = [e_1, e_2](x_1, x_2)^t
 
と表すことができる。
 
 F(x) = [F(e_1), F(e_2)](x_1, x_2)^t
 
であり、写像の行く先の基底は元の基底そのままとしたから、
 
 F(e_1) = [e_1, e_2] (\cos{ \theta}, \sin{ \theta})^t
 F(e_2) = [e_1, e_2](- \sin {\theta}, \cos{ \theta})^t
 
したがって、
 
 F(x) = [e_1, e_2 ] \begin{pmatrix}\cos{ \theta} & -\sin{ \theta}\\ \sin{ \theta} & \cos{ \theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}
 
さて、今度は平面 の vector を反時計まわりに  \theta 回転させるかわりに、今度は行き先の基底がもとの基底に対して 反時計回りに \theta 回転していたらどういう関係になるか調べる。もとの基底を 同じように  e_1 = (1, 0)^t, e_2 = (0, 1)^t とし、 e_1, e_2 \theta 回転したものをそれぞれ  f_1, f_2 と、それらを  e_1, e_2 であらわすと、
 
 f_1 = [e_1, e_2](\cos{ \theta}, \sin {\theta})^t
 f_2= [e_1, e_2](- \sin{ \theta}, \cos {\theta})^t
 
なので、
 
 [f_1, f_2] = [e_1, e_2]\begin{pmatrix}\cos{ \theta} & -\sin {\theta}\\ \sin{ \theta} & \cos{ \theta }\end{pmatrix}

これを使って先程の  F の基底を  f_1, f_2 にかえてみると、
 
 F(x) \\
= [f_1, f_2] \begin{pmatrix}\cos{ \theta} & -\sin {\theta}\\ \sin{ \theta} & \cos {\theta} \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}\cos{ \theta} & -\sin {\theta} \\\sin{ \theta} & \cos{ \theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\
x_2 \end{pmatrix}
 = [f_1, f_2] \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}

となり、あたりまえすぎる結果であるが、座標の値は変わらない。
 
それでは、今度は回転前に基底を  f_1, f_2 にかえて、回転後も基底  f_1, f_2 で表すとすると、これもあたり前だが、結果は最初と変わらない。

 F(x) = [f_1, f_2 ] \begin{pmatrix}\cos{ \theta} & -\sin{ \theta}\\ \sin{ \theta} & \cos{ \theta} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1^{\prime}\\x_2^{\prime} \end{pmatrix}

 以上のことを一般化すると、元の基底  e_1,\cdots, e_n e_1^{\prime}, \cdots, e_{n}^{\prime} に変更し、行き先の基底  f_1,\cdots, f_m f_1^{\prime},\cdots, f_m^{\prime} に変更するとして、その基底変換行列  P,Qをそれぞれ、
 
 [e_1^{\prime}, \cdots, e_{n}^{\prime}] = [e_1, \cdots, e_n]P\\
 [f_1^{\prime},\cdots, f_m^{\prime}]= [f_1,\cdots, f_m]Q
 
として、新しい基底を元の基底で表した場合、

  [F(e_1),\cdots, F(e_n)]
=[f_1, \cdots, f_m]A

  [F(e^{\prime}_1),\cdots, F(e^{\prime}_n)]
=[f^{\prime}_1, \cdots, f^{\prime}_m]A^{\prime}

とおくと、最後の式と準同型写像の性質により、

 [F(e_1),\cdots, F(e_n)]P
=[f_1, \cdots, f_m]QA^{\prime}

が成立する。したがって、

 A = QA^{\prime}P^{-1} または
 A^{\prime} = Q^{-1}AP

行列  A は、新しい基底のもとで、 Q^{-1}AP に変わる (可換図式を書けばすぐにわかることだが念のため)。