雑記 (4)

今度は、平衡状態における確率分布がボルツマン分布というのをモデルにして、前々回の記事の「相対エントロピー」を適用すると、どういうことになっているかを考えてみる。以下のように、

 q_i = \frac{1}{Z} \exp( -\frac{E_i }{k_BT})

とおくと、  \frac{1}{Z}= \exp(\frac{F}{k_BT}) だから、

 - k_{B}p_i\log{q_i} = \frac{E_i  -  F_{eq}}{T}p_i

となり、結局、

 - k_{B}\sum_{i=1}^{k} p_i\log{q_i} = \frac{U_{const} -  F_{eq}}{T}  = S_{eq}

相対エントロピー  D は、

 D = S_{eq} - S \geq 0

となるので、  D を最小化させるということは、モデルをボルツマン分布とした場合、意味的には、エントロピーを最大化すること、または、ヘルムホルツの自由エネルギーを最小化することと同じである。