雑記 (4)

折角だから、律儀に他のマックスウェルの関係式もすべて出しておこう。

前回は、エントロピー  S , 体積  V を独立変数とする「内部エネルギー 」の微分形式、

 dU = TdS - PdV

から、

 (\frac{\partial T}{\partial V})_S = -(\frac{\partial P}{\partial S})_V

が出た。

エントロピー  Sを温度  Tに変更するために、ルジャンドル変換を施して「ヘルムホルツの自由エネルギー 」F の微分形式を得た。


 \begin{align}dF &= d(U  - TS) \\ &= TdS - PdV - TdS - SdT \\ &= - SdT - PdV
\end{align}

これから、

 (\frac{\partial S}{\partial V})_T = (\frac{\partial P}{\partial T})_V

が出た。

続けて、ヘルムホルツの自由エネルギーの独立変数の一つである体積を圧力に入れ替えて、「ギブスの自由エネルギー」G の微分形式を得る。

 \begin{align}dG &= d(F  + PV) \\ &= - SdT + VdP
\end{align}

これから、

 - ( \frac{\partial S}{\partial P})_T = (\frac{\partial V}{\partial T})_P

が出る。

最後に、内部エネルギーの独立変数の一つである体積を圧力に入れ替えて、「エンタルピー (ネオスの自由エネルギー / 熱関数) 」H での微分形式を得る。

 \begin{align}dH &= d(U  + PV) \\  &= TdS + VdP
\end{align}

これから、

 ( \frac{\partial T}{\partial P})_S = (\frac{\partial V}{\partial S})_P

が出る。