雑記

雑記 (12)

雑記(9) の結果って見れば見るほど美しい。をみると は実数だが、どう見てもラプラス変換である。その変換は、「状態密度関数」と「分配関数」を繋げている。ラプラス逆変換をすれば、今度は「状態密度関数」が「分配関数」に変わるわけだ。それだけではない…

雑記 (11)

前々回の記事は、連続化するために「状態密度」が導入されたような印象を与えそうなので少し補足しておく。「状態」に何かパラメータのようなものがあって、特定のエネルギー を実現するとき、パラメータが複数あれば、一般には、それを実現する異なる組み合…

雑記(10)

前回のラプラスの積分法って、考え方がとてもシンプルである。まったく、同じようにして、 Striling の公式を求めることができる。方針としては、ともかく前回の記事のような形をつくればいいのだ。というガンマ関数が元になっていて、これに変数変換を行っ…

雑記(9)

カノニカル(ボルツマン)分布を連続化するために、 から の の間にエネルギーの異なる状態が あると考えて、ここでの確率密度を であるとする。すると分布関数 はになる。そもそも熱力学のエントロピー変化のミステリアスな式に見られるように、温度 は、逆数…

雑記 (8)

前回の「大数の法則」は、が無限大になるにつれて、デルタ関数に収束していく平均値の近くの漸近的振る舞いを示すものだが、平均から遠く離れた事象が漸近的にどう振る舞うかについては何も教えてくれない。「大偏差原理」はその平均から外れた裾野の部分の…

雑記 (7)

厳密な定式化は置いておくとして、ボルツマン分布 (カノニカル分布) が何故できるかという一つの感覚として、ほぼ無限次元といってよい空間にエネルギーを分配して、温度を一定(つまり有限の内部エネルギー)にするには、ボルツマン分布のような確率を取るし…

雑記(6)

もう一度、相対エントロピーと自由エネルギーの関係を整理しておく。相対エントロピーの定義式を物理系に置き換えてこれに、 を代入すると、 から、 となり、結局、となるが、 (等号は のとき)であったから、となる。したがって、相対エントロピーを最小化す…

雑記 (5)

さらに、ボルツマン分布から何が出てくるかを考えてみる。エントロピーをとすると、 の総和は、ゼロなので、 となる。 から、 であり、ここで、最初の項のエネルギー移動を「仕事」、次の項のエネルギー移動を「熱」と呼ぶこととする。ここで、仕事はしない…

雑記 (4)

今度は、平衡状態における確率分布がボルツマン分布というのをモデルにして、前々回の記事の「相対エントロピー」を適用すると、どういうことになっているかを考えてみる。以下のように、 とおくと、 だから、 となり、結局、 相対エントロピー は、 となる…

雑記 (3)

前々回からやっていることと基本はまったく同じことなのだが、再び理想気体に戻って、 分子が、 個あるセルの内、 番目のものに存在する確率を とすれば、エントロピー は、である。ここで温度 が一定のときの確率分布を求めたいのだが、その時は体積が一定…

雑記(2)

前回の情報エントロピーの計算は、 記号 が文字として単語に使われる確率 ( ) を使って、記号 が、 回使われる確率を求め、この逆数をとった対数を求めることと同じである。最後に文字数 で割り、対数の底を 2 に変えたものが情報エントロピー (平均情報量) …

雑記

情報系で使う「情報エントロピー(平均情報量)」が、結局、統計力学のボルツマン流の「場合の数 (自由度)」の対数によるエントロピーの定義と基本は同じであることを理解するのは、そんなに難しくない。 いま 文字からなる単語があったとして、文字として異な…

I’m Gonna Knock on Your Door

この Eddie Hodges の 1961 年の曲を聴いていて、不図、これを「訪問型健診サービス」のテーマ曲に使ったらと思いついたのだが、1980 年代にオーストラリアで赤十字が寄付を呼びかける際に使ったことがすでにあるらしい。ところで、この前、バングラデシュに…

雑記

コニー・フランシスが八ヶ国語でレコーディングした年 (1961 年) に、IBM 社のロルフ・ランダウアーは、 今では、“Landauer's Principle” として有名になった原理を主張した。これは、計算過程で蓄えた情報をメモリーから消去(リセット)するような「非可逆的…

雑記 (6)

系に起こる方向性を支配するエントロピー増大原理と自由エネルギー減少の同値性について触れておきたい (少し、ややこしいので)。いま、考えている系が、外界から熱量 を受けて、系のエントロピーが 増えたとする。そうすると、エントロピー増大則から、系の…

雑記 (5)

サディ・カルノーとエヴァリスト・ガロアは、1832 年 に僅か 3 ヶ月違いで亡くなっているんだなあ (ガロアの方が 3 ヶ月先)。その二人と関係しているシメオン・ドニ・ポワソンの断熱準静的変化における式は、前の記事にも取り上げたが、直感的には一番エント…

雑記 (4)

折角だから、律儀に他のマックスウェルの関係式もすべて出しておこう。前回は、エントロピー , 体積 を独立変数とする「内部エネルギー 」の微分形式、から、が出た。エントロピー を温度 に変更するために、ルジャンドル変換を施して「ヘルムホルツの自由エ…

雑記 (3)

内部エネルギー をエントロピー , 体積 を独立変数として、と最初に表記したのは、ヨシア・ウィラード・ギブスらしい。これって確かに便利である。その完全微分性から以下のようになる。さらに二階連続偏導関数の対称性 (偏微分の順序が交換できるということ…

雑記 (2)

カルノー・サイクルの補足。はっきりさせるために理想気体の場合を扱う。(1) 高温 の環境での膨張 (等温準静操作 a → b)【内部エネルギー】常に一定温度なので、変化しない。つまり高温側の熱源から準静操作によって移動した熱エネルギー は、すべて外部へと…

雑記

エントロピー変化をもう少し詳しく補足するためにカルノー・サイクルの「等温膨張」を考えてみる。熱源 (温度 ) から熱量 がシリンダー内の気体 (理想気体とする) に準熱平衡の準等温状態で移動する。➡︎ 高温側の熱源のエントロピーは、 だけ下がった。温度…

Love Letters in the Sand

これって パット・ブーンの曲かと思いきや、1931 年にできた歌なんだ! しかも、1881 年の "The Spanish Cavalier" がこの曲のベースになっているというのだから吃驚する。 "The Spanish Cavalier" は、フォード映画でお馴染みの The Sons of the Pioneers が…

雑記 (5)

エントロピーを以前は「乱雑さ」を表す物理量というニュアンスで捉える人が多かったように思うが、エコロジー教育が浸透してきている影響だろうか、最近は、エネルギーの「質の悪さ」の尺度として捉える人もいる。考えてみると、確かに、可逆であるカルノー…

雑記(4)

前回の記事で何に長時間、興味を惹かれていたかというと、「力」については作用反作用の法則が成立するが、「仕事」については一般には成立しないということ。重心の「仕事」に「外力」のみが寄与し、「内力」は寄与しないのだとすれば、ブランコを漕ぐ場合…

雑記 (3)

ベクトルの内積というと、なぜか自分は、(力学的)「仕事」を真っ先にイメージしてしまう。「仕事」について、 物体に力を加えて、物体が力の向きに移動したとき、力は物体に仕事をしたと言い仕事の量は力と移動距離の積で与えられる。 と説明しているものが…

雑記 (2)

三つほど前の記事で、慣性力を説明したので、回転する独楽が重力によるモーメントで傾いたときに、そのまま倒れないための釣り合い力は、歳差運動することによって実際に生まれていることが直感的にわかるよう加速度座標系で考えてみる。いま、静止系で自分…

雑記

地球の地軸は 約 23.4 度、太陽の周りを公転する (軌道は完全な円ではない) 面に垂直な軸から傾いていて、夏至のときの北緯 23.4 度の北回帰線、冬至のときの南緯 23.4 度の南回帰線は太陽が真上 (天頂) にくる北限と南限で、熱帯 (tropics) とはこの二つの…

雑記(4)

インターネットでどうでも良い記事を眺めていたら、「組織は慣性力に従う」という文章にお目にかかった。これは、組織が現状をなかなか変えることができないという意味で使っているのならば、「組織は慣性に従う」で良いと思う。以下のニュートンの「プリン…

雑記

「確率共鳴 (stochastic resonance)」というのはバックグラウンドに適切なレベルのノイズがあると、低コントラストの画像などがかえって検出しやすくなる非線形の現象を言う。 アナログのレコードが未だに好きな人が多いのは、適度なノイズがかえって音を聴…

Forgive Me

森山良子ではなく、森山加代子の『じんじろげ』の元歌はインド民謡の『ヒラミルパニア』という曲だという説があるが、歌詞の中にベンガルという言葉が出てくるので、ベンガル地方の歌らしい。今度、バングラデシュに行ったら知っているか聞いてみよう。知ら…

Beechwood 4-5789

え、これだけ?という、あっけなさが爽快でもう少し聞いていたい気にさせる 1962 年の The Marvelettes の曲である。1961 年の “Please Mr. Postman” のとき、リードの Gladys Horton はまだ 15 歳だったというから、このときは 16 歳である。Marvin Gaye は…