2019-01-13から1日間の記事一覧

雑記(33)

下の群と準同型の可換図式で各行は群の拡大とする。 が同型ならば、 も同型である。(証明) 1) が全射であること:任意の をとる。 となる が存在する ( は全射から)。 となる が存在する ( は全射から) である ( から)したがって、したがって、 となる が存在…

雑記 (32)

前の記事の続き。外部半直積によって定義した半直積を と表記し、 を それぞれ、 と自然に同一視する。 を仮定すると、 なので、 となり、 である。逆は明らかので、したがって、 である。 なので である。また、 これから、 である。以上から、外部半直積の…

雑記 (31)

ところが、一般の非可換な群の場合は、前の記事のようにはならない。上の図で、短完全列であることから、 は の正規部分群である。最初の方の図で、 を満たす全準同型写像 が存在するならば、 であることから、 も正規部分群である。したがって、 は直和 (直…